Du skal logge ind for at skrive en note

Et matematisk bevis er en samling af logiske argumenter, der overbeviser mennesker om sandheden af et givent matematisk udsagn eller sætning. Et godt bevis giver desuden forklaringer på hvorfor argumenterne er sande.

Formen på et matematisk bevis består ofte af deduktive serier af udsagn, der forbindes med logiske ræsonnementer, som ikke kan afvises. En serie af sådanne udledninger danner kæder af ræsonnementer, der i sidste ende fører til, at det bagvedliggende matematiske udsagn overbeviser tilhøreren om udsagnets sandhed.

I bevissamlingen bruges den serielle opbygning af et bevis i en enkel grafisk form som vist i figuren herunder. De blå felter er bevisets egentlige trin og ræsonnementer, der er nummereret fortløbende. De mellemliggende hvide felter er forklaringer på hvad der sker i ræsonnementet. Man kan sige, at de forklarende hvide felter forbinder de matematiske ræsonnementer med sproglige præciseringer af detaljerne i de enkelte trin. Når beviset er afsluttet vises det med bogstaverne Q.E.D. (quod erat demonstrandum - latin for "hvilket skulle bevises").

Du skal logge ind for at skrive en note
Du skal logge ind for at skrive en note

Om motivation og matematiske beviser

Hvorfor skal man overhovedet beskæftige sig med beviser? Hvorfor kan man ikke bare bruge en formel uden at tænke over om den er gyldig? Der er heldigvis rigtig mange gode argumenter for at beskæftige sig med beviser. Her følger nogle af dem.

  • Når matematik senere hen skal anvendes i forbindelse med en videregående uddannelse, eller en virkelig situation skal analyseres, så er der ikke nødvendigvis en færdig formel, der kan håndtere situationen. Man skal ofte selv konstruere eller udlede den matematik, der skal anvendes. Det er på mange måder det samme, man gør, når man laver et bevis i matematik.
  • Bevisførelse kan styrke den grundlæggende algebra, da lommeregner/CAS ikke er til megen hjælp her.
  • Gør det lettere at huske formler, da man har fået en forståelse for dem. Mange elever vil ofte problematisere at skulle huske hundredevis af formler, men har ingen problemer med at skulle huske stavemåden på tusindvis af ord. Når de ikke har problemer med stavemåden, så skyldes det, at de har lært bogstavernes lyde og det grammatiske system. Det samme kan også siges om matematikkens formler. Det handler "bare" om at få lært systematikken eller syntaksen med analogien til sproget. Er man talblind eller ordblind, er sammenligningen måske mindre god.
Du skal logge ind for at skrive en note

Udvalget af beviser

Udvalget af sætninger og matematiske udsagn i denne samling har til formål at understøtte undervisning og eksamenstræning i gymnasiet. 142 beviser er samlet fra alle matematikkens kerneområder fra geometri til infinitesimalregning.

I papirudgaven er de væsentligste beviser samlet. I bevissamlingen som iBog er medtaget flere varianter af de enkelte beviser (fx "Herons formel") og flere sekundære beviser.

Du skal logge ind for at skrive en note

En bemærkning om udgangspunktet for et par beviser

Mange emner i matematikken indledes med forskellige definitioner. Definerer man lnx, så kan man udlede ex, men det modsatte kan også lade sig gøre. Beviserne i denne samling er baseret på en definition af ln{x} som en arealfunktion under \frac{1}{x}.

I forbindelse med vektorer er skalarprodukt og vektorprodukt begge defineret ud fra koordinater. Dette skyldes bl.a., at skalarproduktet kan defineres i flere end 3 dimensioner ud fra koordinater, men kan kun defineres i op til 3 dimensioner geometrisk set.

Du skal logge ind for at skrive en note

En bemærkning om infinitesimale størrelser i matematiske beviser

I flere af beviserne under "Integralregning" og "Differentialregning" opstår der en kendt og central problemstilling med anvendelsen af infinitesimale størrelser:

Skal vi betragte \frac{dy}{dx} som brøk eller alene som den afledede af variablen y med hensyn til x?

Udtrykket dx i integralet \int f(x)dx er ikke et selvstændigt led, men skal betragtes som et tegn vi anbringer for at angive integrationsvariablen. Man kan oversætte dx til "Vi integrerer med hensyn til x".

Det samme kan man sige om udtrykket \frac{dy}{dx}, der kan oversættes til "vi differentierer y med hensyn til x". Med andre ord er der ikke tale om brøk i en egentlig forstand.

I mange matematiske beviser bruger man alligevel \frac{dy}{dx} som om den var en brøk. Så hvordan kan man tillade sig det?

Det er en problematik, som stammer helt tilbage fra infinitesimalregningens begyndelse i 1700-tallet, da tyskeren Leibniz og englænderen Newton omtrent på samme tid lagde grundstenene til den moderne udgave af integral- og differentialregning. På den tid diskuterede matematikere, hvordan man skulle betragte uendelige små talstørrelser: som uendelige små absolutte eller ikke-absolutte størrelser?

For at sandsynliggøre, at vi undertiden kan tillade os at betragte \frac{dy}{dx} som en egentlig brøk, viser vi her en udledning baseret på følgende sætning om integraler, som kan bevises uden at betragte \frac{dy}{dx} som en brøk. Beviset vil vi dog ikke gennemføre her, men alene se på en konsekvens af sætningen, der handler om brugen af \frac{dy}{dx}, som om den var en brøk bestående af infinitesimale, men alligevel regnbare talstørrelser.

Du skal logge ind for at skrive en note

\int f(g(x))dx = \int f(u)\cdot h'(u)du \, \, \, [1]

hvor f er en kontinuert funktion, g er differentiabel og monoton. Og hvor u = g(x) og h er den omvendte funktion af g.

Du skal logge ind for at skrive en note

Sætningen siger altså noget om, at man udskifter den afhængige variabel i et integral med en sammensat funktion (her g(x)) med en anden uafhængig variabel (her u) med den viste effekt.

Vi vil nu prøve at kigge på venstresiden \int f(g(x))dx i sætningen ved at indføre variablen u = g(x).

Du skal logge ind for at skrive en note

1

u=g(x) \Rightarrow x=h(u)

Hvilket må gælde, da h er den omvendte funktion af g

Du skal logge ind for at skrive en note

2

\frac{dx}{du}=h'(u)

Vi differentierer x med hensyn til u

Du skal logge ind for at skrive en note

3

dx=h'(u)du

Vi tillader os her at betragte \frac{dx}{du} som en brøk og ganger med du på begge sider.

Du skal logge ind for at skrive en note

4

\int f(g(x))dx =\int f(g(x))h'(u)du

Vi erstatter først dx med h'(u)du

Du skal logge ind for at skrive en note

5

\int f(g(x))dx =\int f(u)h'(u)du

Og indfører til sidst variablen u og finder altså frem til sætning [1] ved at have betragtet \frac{dx}{du} som en brøk.

Du skal logge ind for at skrive en note

Det ses dermed, at ved at bruge den gængse regnemetode med at gange nævneren i en brøk over på den anden side af lighedstegnet, opnås det samme resultat som i sætning [1]. Det skal understreges, at vi hermed kun har sandsynliggjort, at det kan gøres generelt i alle sammenhænge.
I bevissamlingen anvender vi flere steder at betragte \frac{dy}{dx} som brøk. Ved det enkelte bevis er det angivet, om denne procedure er anvendt.

Du skal logge ind for at skrive en note
ISBN: 9788761627247. Copyright forfatterne og Systime A/S 2018